本节内容
- 算法定义
- 时间复杂度
- 空间复杂度
- 常用算法实例
一个算法应该具有以下七个重要的特征：
①有穷性（Finiteness）：算法的有穷性是指算法必须能在执行有限个步骤之后终止；
②确切性(Definiteness)：算法的每一步骤必须有确切的定义；
③输入项(Input)：一个算法有0个或多个输入，以刻画运算对象的初始情况，所谓0个输 入是指算法本身定出了初始条件；
④输出项(Output)：一个算法有一个或多个输出，以反映对输入数据加工后的结果。没 有输出的算法是毫无意义的；
⑤可行性(Effectiveness)：算法中执行的任何计算步骤都是可以被分解为基本的可执行 的操作步，即每个计算步都可以在有限时间内完成（也称之为有效性）；
⑥高效性(High efficiency)：执行速度快，占用资源少；
⑦健壮性(Robustness)：对数据响应正确。
2. 时间复杂度
计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间,时间复杂度常用大O符号（大O符号（Big O notation）是用于描述函数渐进行为的数学符号。更确切地说，它是用另一个（通常更简单的）函数来描述一个函数数量级的渐近上界。在数学中，它一般用来刻画被截断的无穷级数尤其是渐近级数的剩余项；在计算机科学中，它在分析算法复杂性的方面非常有用。）表述，使用这种方式时，时间复杂度可被称为是渐近的，它考察当输入值大小趋近无穷时的情况。
大O，简而言之可以认为它的含义是“order of”（大约是）。
无穷大渐近大O符号在分析算法效率的时候非常有用。举个例子，解决一个规模为 n 的问题所花费的时间（或者所需步骤的数目）可以被求得：T(n) = 4n^2 - 2n + 2。当 n 增大时，n^2; 项将开始占主导地位，而其他各项可以被忽略——举例说明：当 n = 500，4n^2; 项是 2n 项的1000倍大，因此在大多数场合下，省略后者对表达式的值的影响将是可以忽略不计的。
数学表示扫盲贴http://www.cnblogs.com/alex3714/articles/5910253.html
<pre name="code" class="reply-text mb10">一、计算方法
<pre name="code" class="reply-text mb10">1.一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。
<pre name="code" class="reply-text mb10">一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。
<pre name="code" class="reply-text mb10">2.一般情况下，算法的基本操作重复执行的次数是模块n的某一个函数f（n），因此，算法的时间复杂度记做：T（n）=O（f（n））。随着模块n的增大，算法执行的时间的增长率和f（n）的增长率成正比，所以f（n）越小，算法的时间复杂度越低，算法的效率越高。
<pre name="code" class="reply-text mb10">在计算时间复杂度的时候，先找出算法的基本操作，然后根据相应的各语句确定它的执行次数，再找出T（n）的同数量级（它的同数量级有以下：1，Log2n ，n ，nLog2n ，n的平方，n的三次方，2的n次方，n！），找出后，f（n）=该数量级，若T(n)/f(n)求极限可得到一常数c，则时间复杂度T（n）=O（f（n））。
<pre name="code" class="reply-text mb10">3.常见的时间复杂度
<pre name="code" class="reply-text mb10">按数量级递增排列，常见的时间复杂度有：
<pre name="code" class="reply-text mb10">常数阶O(1),对数阶O(log2n),线性阶O(n),线性对数阶O(nlog2n),平方阶O(n^2)， 立方阶O(n^3),...， k次方阶O(n^k),指数阶O(2^n) 。
<pre name="code" class="reply-text mb10">其中，
<pre name="code" class="reply-text mb10">1.O(n)，O(n^2)， 立方阶O(n^3),...， k次方阶O(n^k) 为多项式阶时间复杂度，分别称为一阶时间复杂度，二阶时间复杂度。。。。
<pre name="code" class="reply-text mb10">2.O(2^n)，指数阶时间复杂度，该种不实用
<pre name="code" class="reply-text mb10">3.对数阶O(log2n),线性对数阶O(nlog2n)，除了常数阶以外，该种效率最高
<pre name="code" class="reply-text mb10">例：算法：
for（i=1;i<=n;++i）
{
for(j=1;j<=n;++j)
{
c[ i ][ j ]=0; //该步骤属于基本操作 执行次数：n^2
<pre name="code" class="reply-text mb10"> for(k=1;k<=n;++k)
c[ i ][ j ]+=a[ i ][ k ]*b[ k ][ j ]; //该步骤属于基本操作 执行次数：n^3
}
}
则有 T（n）= n^2+n^3，根据上面括号里的同数量级，我们可以确定 n^3为T（n）的同数量级
则有f（n）= n^3，然后根据T（n）/f（n）求极限可得到常数c
则该算法的 时间复杂度：T（n）=O（n^3)
<pre name="code" class="reply-text mb10">四、
<table>
<tr><td>
<div class="cnt">
定义：如果一个问题的规模是n，解这一问题的某一算法所需要的时间为T(n)，它是n的某一函数 T(n)称为这一算法的“时间复杂性”。当输入量n逐渐加大时，时间复杂性的极限情形称为算法的“渐近时间复杂性”。我们常用大O表示法表示时间复杂性，注意它是某一个算法的时间复杂性。大O表示只是说有上界，由定义如果f(n)=O(n)，那显然成立f(n)=O(n^2)，它给你一个上界，但并不是上确界，但人们在表示的时候一般都习惯表示前者。此外，一个问题本身也有它的复杂性，如果某个算法的复杂性到达了这个问题复杂性的下界，那就称这样的算法是最佳算法。“大O记法”：在这种描述中使用的基本参数是
n，即问题实例的规模，把复杂性或运行时间表达为n的函数。这里的“O”表示量级 (order)，比如说“二分检索是 O(logn)的”,也就是说它需要“通过logn量级的步骤去检索一个规模为n的数组”记法 O ( f(n) )表示当 n增大时，运行时间至多将以正比于 f(n)的速度增长。这种渐进估计对算法的理论分析和大致比较是非常有价值的，但在实践中细节也可能造成差异。例如，一个低附加代价的O(n2)算法在n较小的情况下可能比一个高附加代价的 O(nlogn)算法运行得更快。当然，随着n足够大以后，具有较慢上升函数的算法必然工作得更快。O(1)Temp=i;i=j;j=temp;以上三条单个语句的频度均为1，该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。算法的时间复杂度为常数阶，记作T(n)=O(1)。如果算法的执行时间不随着问题规模n的增加而增长，即使算法中有上千条语句，其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)。O(n^2)2.1.
交换i和j的内容sum=0；（一次）for(i=1;i<=n;i++)（n次 ）for(j=1;j<=n;j++)
（n^2次 ）sum++；（n^2次 ）解：T(n)=2n^2+n+1 =O(n^2)2.2.for (i=1;i<n;i++){y=y+1;①for
(j=0;j<=(2n);j++)x++;②}解：
语句1的频度是n-1语句2的频度是(n-1)(2n+1)=2n^2-n-1f(n)=2n^2-n-1+(n-1)=2n^2-2该程序的时间复杂度T(n)=O(n^2).O(n)2.3.a=0;b=1;①for
(i=1;i<=n;i++) ②{s=a+b; ③b=a; ④a=s; ⑤}解：语句1的频度：2,语句2的频度：
n,语句3的频度： n-1,语句4的频度：n-1,语句5的频度：n-1,T(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n).O(log2n
)2.4.i=1;①while (i<=n)i=i2; ②解： 语句1的频度是1,设语句2的频度是f(n),则：2^f(n)<=n;f(n)<=log2n取最大值f(n)=
log2n,T(n)=O(log2n )O(n^3)2.5.for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<i;j++){for(k=0;k<j;k++)x=x+2;}}解：当i=m,j=k的时候,内层循环的次数为k当i=m时,j 可以取 0,1,...,m-1,所以这里最内循环共进行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2次所以,i从0取到n,则循环共进行了: 0+(1-1)1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/6所以时间复杂度为O(n^3).我们还应该区分算法的最坏情况的行为和期望行为。如快速排序的最
坏情况运行时间是 O(n^2)，但期望时间是 O(nlogn)。通过每次都仔细 地选择基准值，我们有可能把平方情况 (即O(n^2)情况)的概率减小到几乎等于 0。在实际中，精心实现的快速排序一般都能以 (O(nlogn)时间运行。下面是一些常用的记法：访问数组中的元素是常数时间操作，或说O(1)操作。一个算法如 果能在每个步骤去掉一半数据元素，如二分检索，通常它就取 O(logn)时间。用strcmp比较两个具有n个字符的串需要O(n)时间。常规的矩阵乘算法是O(n^3)，因为算出每个元素都需要将n对
元素相乘并加到一起，所有元素的个数是n^2。指数时间算法通常来源于需要求出所有可能结果。例如，n个元 素的集合共有2n个子集,所以要求出所有子集的算法将是O(2n)的。指数算法一般说来是太复杂了，除非n的值非常小，因为，在 这个问题中增加一个元素就导致运行时间加倍。不幸的是，确实有许多问题 (如著名的“巡回售货员问题” )，到目前为止找到的算法都是指数的。如果我们真的遇到这种情况，通常应该用寻找近似最佳结果的算法替代之。
</td>
</tr>
</table>
常用排序
<table style="width: 607px;" border="1" cellspacing="0" cellpadding="0">
<tr><td valign="top" width="91">
名称
</td>
<td valign="top" width="84">
复杂度
</td>
<td valign="top" width="306">
说明
</td>
<td valign="top" width="126">
备注
</td>
</tr>
<tr>
<td valign="top" width="91">
冒泡排序
</td>
<td valign="top" width="84">
O(N*N)
</td>
<td valign="top" width="306">
将待排序的元素看作是竖着排列的“气泡”，较小的元素比较轻，从而要往上浮
</td>
<td valign="top" width="126">
</td>
</tr>
<tr>
<td valign="top" width="91">
插入排序
</td>
<td valign="top" width="84">
O(N*N)
</td>
<td valign="top" width="306">
逐一取出元素，在已经排序的元素序列中从后向前扫描，放到适当的位置
</td>
<td valign="top" width="126">
起初，已经排序的元素序列为空
</td>
</tr>
<tr>
<td valign="top" width="91">
选择排序
</td>
<td valign="top" width="84">
O(N*N)
</td>
<td valign="top" width="306">
首先在未排序序列中找到最小元素，存放到排序序列的起始位置，然后，再从剩余未排序元素中继续寻找最小元素，然后放到排序序列末尾。以此递归。
</td>
<td valign="top" width="126">
</td>
</tr>
<tr>
<td valign="top" width="91">
快速排序
QuickSort
</td>
<td valign="top" width="84">
O(n *log2(n))
</td>
<td valign="top" width="306">
先选择中间值，然后把比它小的放在左边，大的放在右边（具体的实现是从两边找，找到一对后交换）。然后对两边分别使用这个过程（递归）。
</td>
<td valign="top" width="126">
</td>
</tr>
<tr>
<td valign="top" width="91">
堆排序HeapSort
</td>
<td valign="top" width="84">
O(n *log2(n))
</td>
<td valign="top" width="306">
利用堆（heaps）这种数据结构来构造的一种排序算法。堆是一个近似完全二叉树结构，并同时满足堆属性：即子节点的键值或索引总是小于（或者大于）它的父节点。
</td>
<td valign="top" width="126">
近似完全二叉树
</td>
</tr>
<tr>
<td valign="top" width="91">
希尔排序
SHELL
</td>
<td valign="top" width="84">
O(n1+￡)
0<￡<1
</td>
<td valign="top" width="306">
选择一个步长(Step),然后按间隔为步长的单元进行排序.递归,步长逐渐变小,直至为1.
</td>
<td valign="top" width="126">
</td>
</tr>
<tr>
<td valign="top" width="91">
箱排序BinSort
</td>
<td valign="top" width="84">
O(n)
</td>
<td valign="top" width="306">
设置若干个箱子，把关键字等于k的记录全都装入到第k个箱子里(分配)，然后按序号依次将各非空的箱子首尾连接起来(收集)。
</td>
<td rowspan="2" valign="top" width="126">
分配排序的一种：通过"分配"和"收集"过程来实现排序。
</td>
由 dawei
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